프레게에 의하면 수는 비지각적 대상으로 존재를 분유하는 형이상학적 존재이다. 따라서 '수'라는 대상의 형이상학적 존재를 거부하는 하이네의 게임 형식주의는 잘못되었다.


브라우베르와 하이팅에 의하면 초급산술은 이성적 직관으로 가능하며 단순히 기호에 대한 수학자의 임의성으로 산술체계를 구성하는 형식주의 전반은 잘못되었다. 그러나 힐버트는 칸트와 마찬가지로 이성적 직관을 넘어서는 것에서는 논의하지 않는 유한주의의 성격을 보인다.