그래프 개형: 기출도 기출이지만 개념공부 할 때 그냥 막 연습해야 함.
기본적인 다항함수(삼차, 사차), 삼각함수, 지수함수, 로그함수는 물론이고
분모/분자가 다차인 유리함수(일반적인 일차/이차, 이차/이차, 일차 + 일차/이차 (= 삼차/이차)), e^x f(x) (f(x)가 일차, 이차, 삼차, sin/cos) 등 다양하게, 그리고 가장 중요하게 "미분 최대한 안하고" 그릴 줄 알아야 함.
수학의 정석에 아예 그래프 개형 단원이 있음. 그 단원에 있는 모든 함수를 다 그려본다고 생각하고 연습하면 그래프 개형 그리는 연습은 거진 끝난다고 생각하면 됨. 나머지는 기출+사설 풀면서 그리면 됨
미분방정식: f(x), f'(x)에 대한 조건 있고 f(x) 구하기
미분방정식은 일반적으로 푸는 방법이 존재하지 않음. 따라서 자주 나오는 특수한 꼴을 몇 가지 외워야 하긴 함. 어차피 아래 3가지 중 하나로만 나오게 되어있음. ( 몇개 더 있을 수도 있는데 막상 안떠오름. 문제 보면 풀이는 바로 나올테지만 뱉어내라 하니 안나오네)
1) 변수분리
f'(x) + 2xf(x) = 0 -> dy/dx = -2xy
dy/dx = (x에 대한 식) * (y에 대한 식)으로 정리되면
1/y dy = -2x dx로 (y대한 식)dy = (x 대한 식 )dx로 변경하고 양변 적분함
ln|y| = -x^2 + C , |y| = ke^ (-x^2)
* f'(x) = (y에 대한 식) 꼴도 같은 원리로, dy/dx = (y에 대한 식), (y에 대한 식)dy = dx, (y에 대한 식) = x+C 꼴로 구할 수 있음
2) xf'(x) + nf(x) = g(x) 꼴
이 경우에는 양변에 x^(n-1)을 곱함.
x^n f'(x) + nx^(n-1) f(x) = g(x) * x^(n-1)
좌변을 적분하면 x^n f(x)임. 우변이 적분 가능하면 이렇게 해서 x^n f(x) = ~, f(x) = ~ 로 구할 수 있음
마찬가지로 n이 음의 정수여도 가능함. 몫의 미분이랑 결이 비슷함
3) f'(x) + nf(x) = g(x) 꼴
위에랑 비슷하게 보이지만 전혀 다름. f'(x)에 x가 안붙음
양변에 e^(nx)를 곱하면, e^(nx) (f'(x) + nf(x)) = g(x) e^(nx)임
좌변을 적분하면 e^(nx) f(x)가 되니, 우변도 적분하면 f(x)가 나옴
적분퍼즐: 이건 퍼즐이 아니라, 논리임
내가 가진 정보를 활용해 답에서 구하라고 하는 적분값으로 살살 변환하는게 니들이 말하는 적분퍼즐임. 근데 이게 생각보다 쉬움.
고등학교에서 가진 적분 관련 도구는 치환적분과 부분적분 2개밖에 없으므로, 다 이것들로 풀릴 수밖에 없게끔 문제가 설정됨.
따라서 문제에서 주어진 조건을 보고, 문제에서 구하라는 적분식을 보고, 치환적분과 부분적분 중 어떤 것들을 어떤 순서로 쓸 것인지를 파악하는 능력이 필요함.
이것을 학습할 때, "아 이렇게 하면 되구나"하고 넘어가면 적분을 "퍼즐"로 느낄 것임. 문제와 구하는 식의 형태를 보고 다음 단계를 전개하는 "논리"를 너가 만들어서 학습해야 함.
사실 치환적분 = 합성된 함수 처리 / 부분적분: 적분식 내에서 미분하고 싶은 놈 또는 적분하고 싶은 놈이 있을 때
이렇게로 정해져있다보니 생각할게 많지 않음
정적분퍼즐: 이건 툴이 좀 필요함.
예전에 작성한 글이 있음 https://arca.live/b/sooneung/84808475?category=%ED%8C%81&target=all&keyword=%EC%A1%B4%EC%95%84%EC%B9%B4+%EC%A0%81%EB%B6%84&p=1
정리해보자면, 정적분에서 함수를 적분하지 않고 값을 구하는 특수한 경우들임.
결국에는 대칭성을 확용하는 것임.
-x~x까지 적분이면 0~x까지 f(t)+ f(-t)dt로 치환한다던지, 삼각함수처럼 x=a 대칭이면 이 점에 대해서 t = 2a-x로 치환해본다던지...
