들어가기에 앞서, 수능수학 2~3등급대의 수험생들이 읽어보기를 바란다.
함수추론은 계속 고난도 문항으로 출제가 되어왔다.
대부분의 이들은 조건을 읽더라도 풀어내지를 못하고, 더 아래에 있는 이들은 애초에 그 문제를 풀지 않는다고 생각한 채로 시험에 들어가게 된다.
그러나 함수를 해석하지 못하는 이들의 공통점이 보인다.
바로 발문이다.
즉, 발문에 나온 조건만 잘 본다면 풀이의 틀은 잡힐 수 밖에 없다.
함수는 여러가지 종류가 있다.
발문에서는 그냥 함수라고만 할 수도 있으며, 더욱더 엄격하게는 다항함수라고 못을 박아놓고 들어가기도 한다.
우리는 이 엄격함을 기준으로 해서 함수의 해석에 대해 차례차례 알아볼 것이다.
1. 함수
함수는 할 수 있는 행동이 크게 많지는 않다.
1.2 모든 실수 x에 대하여 연속인 함수 f(x)
말 그대로 연속성에 초점을 맞추어 해석을 해야한다.
다음과 같은 선에서 정리된다.
1. 구간 별로 정의된 함수: 불연속일 법한 지점에서 좌극한=우극한=함숫값 처리
2. h(x)/g(x)꼴의 함수: g(x)=~0으로 처리
3. 곱함수나 합/차함수: 잘 알려진 성질들(x=a에서 불연속x연속인 함수가 연속이려면 연속함수가 0이 나와줘야만 한다는 성질) 적용해서 처리
3. 모든 실수 x에 대하여 미분가능한 함수 f(x)
일단 발문에 맞추어서 미분가능성에 초점을 두어서 해석하자.
당연히 연속성을 절대로 놓쳐서는 안되고, 추가적으로 미분가능성만 얹어 준다면 적어도 본인이 '아.. 어떻게 해야하지?'와 같은 사유로 문제를 틀리는 일은 없을 것이다.
4. 다항함수
다항함수는 조금 더 특별하게 다루고 싶다.
먼저 다항함수는 이렇게 정리를 할 수 있다.
(가) "실수 전체의 집합에서 미분 가능하다"의 우회적인 표현
(나) 직접 다항함수를 구해봐라.
만일 의도가(나)라고 한다면 주어지는 발문은 보통 크게 두 가지가 있다.
"최고차항의 계수가 k인 n차함수 f(x)"
아주 높은 확률로 직접 함수를 구해야 한다.
여기서 무엇을 해야하는지는 출제자의 마음대로 할 수 있기 때문에 내가 행동을 정리해봤자 큰 의미가 없다.
그저 조건을 놓치지 말고 철저하게 사용할 수 밖에 없다.
f(x)=ax^4+bx^2+3(단 a,b는 실수이고, a는 0이 아니다.)
위와 같이 미지수가 섞인 식으로 구체적으로 정보가 주어지는 경우가 있디.
누군가는 문제의 조건을 꾸역꾸역 넣어가면서 연립하지만, 식에서 정보를 뽑아내서 문제 조건에 잘 말아버린다면 아주 편해질 것이다.
그럼 이 부분에서 얻을 수 있는 정보는 무엇일까?
f(x)는 우함수이며, f(0)=3, f'(0)->x=0에서 f(x)와 y=3이 접하는 우함수 임을 알 수 있을 것이다.
이제 여기서 얻어낸 정보를 바탕으로 문제 조건을 활용해서 미지수를 편한대로 잡으면 끝난다.
단, 마음대로 a를 양수라고 판단하지는 마라.
최고차항 계수가 음수인 경우도 정답인 경우가 종종 있기 때문이다.
